자연수로서 X, Y, Z 세 개 중에서 두 개 이상이 짝수가 되면, X, Y, Z 는 서로 소인 관계가 될 수가 없다. 따라서 X, Y, Z 는 두 개 이상이 짝수가 될 수는 없다.

그리고 자연수로서 X, Y, Z 는 모두 다 홀수가 될 수는 없다. 만약 이 들이 모두 다 홀수가 되면, 이 들의 차인 A, B, C 는 모두 다 짝수가 된다. 그렇게 되면 위의 식에서

나타나는 바와 같이 X, Y, Z 는 모두 다 홀수이고, X^n, Y^n, Z^n 은 모두 다 짝수가 되는 모순이 발생한다. 따라서 X, Y, Z 세 개가 모두 다 홀수가 될 수 없다.

그러므로 결론적으로 X, Y, Z 중에서 한 개만 짝수가 되고, 다른 2개는 홀수가 되어야만 한다.

경우1) Z는 짝수 X, Y 는 홀수 가 되는 경우

Z = 2S라 하자.(단, S는 자연수)
X^n + Y^n = Z^n 는 (X/2)^n + (Y/2)^n = S^n 이 됨

이 때 (X/2)와 (Y/2)는 모두 다 소수점이하 한 자리 수가 된다.(X, Y는 홀수 임으로)
따라서 (X/2)^n 과 (Y/2)^n 는 모두 다 소수점이하 여러 자리의 수가 된다. 결과적으로 자연수인 S는 존재하지 않고, Z 또한 존재할 수가 없다.

경우2) X 가 짝수이고, Y, Z가 홀수인 경우

X = 2V라 하자 (단, V는 자연수)
Y^n = nCX^(n-1) + … + nC^(n-1)X + C^n 에서,
Y^n = nC(2V)^(n-1) + … + nC^(n-1)(2V) + C^n 이 되며,
{1/2^(n-1)}Y^n = nCV^(n-1) + … + nC^(n-1){1/2^(n-2)}V + {1/2^(n-1)}C^n 이 된다.

위 식에서 Y 와 C 는 홀수이다. 그리고 V 의 계수에 {1/2^(n-2)} 이 존재하고 있다. 분모에 있는 2 의 지수가 n-2 임에 유념ㄱㄱ

{1/2^(n-1)}(C^n-Y^n) 의 인수인 (C^n-Y^n) 이 짝수가 된다. 그러므로 {1/2^(n-1)} 에서 분모에 있는 2 의 지수인 n-1 은, 결국에는 n-2 이하의 보다 더 낮은 차원의 지수

가 된다. 따라서 n 이 3 이상일 때에는 자연수인 V, 즉 X 는 존재할 수 없다. (n이 1과 2일때는 성립한다)

경우3) Y가 짝수이고, X, Z가 홀수 인 경우

Y = 2W (단, W는 자연수)
X^n = nBY^(n-1) + … + nB^(n-1)Y + B^n 에서,
X^n = nB(2W)^(n-1) + … + nB^(n-1)(2W) + B^n 이 되며,
{1/2^(n-1)}X^n = nBW^(n-1) +…+ nB^(n-1){1/2^(n-2)}W + {1/2^(n-1)}B^n 이 된다.

위 식에서 X 와 B 는 홀수이다. 그리고 W 의 계수에 {1/2^(n-2)} 이 존재하고 있다. 분모에 있는 2 의 지수가 n-2 임에 유념ㄱㄱ
{1/2^(n-1)}(B^n-X^n) 의 인수인 (B^n-X^n) 은 짝수가 될 수밖에 없다. 그러므로 {1/2^(n-1)} 에서 분모에 있는 2 의 지수인 n-1 은, 결국에는 n-2 이하의 보다 더 낮은 차원의 지수가 된다. 따라서 n 이 3 이상일 때에는 자연수인 W, 즉 Y 는 존재하지 않는다.

결론, X^n + Y^n = Z^n 에서 X, Y, Z 가 서로 소인 자연수로 존재하기 위하여서는 이들 세 개 중에서 한 개만이 짝수가 되고, 다른 두 개는 홀수가 되어야 한다. 그런데

Z 는 짝수가 될 수는 없다. 따라서 X, Y 둘 중에 한 수는 짝수가 되고, 다른 한 수는 홀수가 되어서 존재해야한다. 그러나 n 이 3 이상일 경우에는, X, Y 는 자연수로서

는 존재할 수가 없게 됨

즉, n 이 3 이상의 자연수일 때, 방정식 X^n + Y^n = Z^n 을 만족하는 양의 정수X, Y, Z 는 존재하지 않는다.