1. 자연상수 ee란?

• ee는 약 2.718로 시작하는 무리수입니다.
• ee는 자연적인 변화를 설명할 때 사용하는 특별한 숫자입니다.

2. ee가 나타나는 상황

1. 복리 계산에서 ee의 등장

복리의 개념을 사용해 보죠. 복리를 점점 더 자주 계산하면 eee가 등장합니다.

1. 단리 계산: 매년 이율이 100%100\%100%인 경우, 원금 111은 1년 후에 222가 됩니다.

   최종 금액=1+1=2\text{최종 금액} = 1 + 1 = 2최종 금액=1+1=2

2. 복리 계산 (2번 계산):

   • 6개월마다 50%50\%50%씩 계산한다면: 1년 후 금액=(1+12)2=2.25\text{1년 후 금액} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.251년 후 금액=(1+21​)2=2.25

3. 복리 계산 (12번 계산):

   • 매달 100%/12100\% / 12100%/12씩 계산한다면: 1년 후 금액=(1+112)12≈2.613\text{1년 후 금액} = \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.6131년 후 금액=(1+121​)12≈2.613

4. 계산을 무한히 자주 하면:

   • 111을 nnn번 계산한다고 가정하면: 최종 금액=(1+1n)n\text{최종 금액} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n최종 금액=(1+n1​)n
   • nnn을 무한히 크게 하면 이 값은 **e≈2.718e \approx 2.718e≈2.718**에 가까워집니다.

2. 자연적인 성장

ee는 변화의 속도가 크기와 비례하는 모든 자연적인 현상에서 나타납니다.

1. 세포 분열:

   • 세포가 일정 시간마다 분열한다고 가정합니다.
   • 세포가 많아질수록 더 많은 세포가 동시에 분열합니다.
   • 시간이 지남에 따라, 세포 수는 다음과 같이 증가합니다: N(t)=N0⋅ektN(t) = N_0 \cdot e^{kt}N(t)=N0​⋅ekt 여기서 N0N_0N0​는 초기 세포 수, kkk는 분열 속도, ttt는 시간입니다.

2. 방사성 붕괴:

   • 방사성 원소의 감소 속도는 현재 남아 있는 양에 비례합니다.
   • 시간 ttt 후 남아 있는 양은: N(t)=N0⋅e−ktN(t) = N_0 \cdot e^{-kt}N(t)=N0​⋅e−kt

3. 온도 변화 (뉴턴 냉각 법칙):

   • 뜨거운 물이 식는 속도는 주위 온도와의 차이에 비례합니다: T(t)=Tambient+(T0−Tambient)⋅e−ktT(t) = T_{\text{ambient}} + (T_0 - T_{\text{ambient}}) \cdot e^{-kt}T(t)=Tambient​+(T0​−Tambient​)⋅e−kt

3. 실생활 비유: "빠르게 변하는 복리"

생각해봅시다:

1. 누군가 돈을 맡기면서 "매년 한 번 계산"하면 원금만큼 이자를 얻습니다.
2. 만약 이자를 매달 계산한다면, 그 이자에 대해서도 이자가 붙습니다. (복리)
3. 계산을 무한히 자주 하면, 자연상수 eee가 나타납니다.

즉, eee는 "무한히 작은 시간 간격"에서 복리를 계산하는 결과라고 이해할 수 있습니다.

3. ee를 직관적으로 이해하는 연습

1. 작은 변화의 반복

• 상상해보세요: 1원에 대해 아주 작은 변화가 매 순간 일어나는데, 그 변화가 누적됩니다.
• 시간이 지남에 따라 결과는 ee로 수렴하게 됩니다.

2. 성장과 감쇠

• "무언가가 자기 크기에 비례하여 증가하거나 감소할 때" eee가 핵심 역할을 합니다.
• 예: 세균 증식, 이자 복리, 방사성 붕괴, 온도 변화 등.