특정 값, 함수식, 상황 등등은

그냥 주는게 아니다

뭔가가 숨겨져 있는 것이다

무지성 계산하면 안된다..!!

수많은 상황에서는

대수적 계산이 안되지만

그중 하나를 특정지으면

대수적 계산이 가능해지고

문제가 풀린다

y = t - log_2(x) vs y = 2^(x-t) 2개 이동

y = log_2(x) vs y = t - 2^(x-t) 1개를 고정시키고 관찰한다!!!(다항함수/지수로그함수)

{양변 조작 가능!!!!}

(여기서, 근의 접하거나 뚫는 것도 그대로 보존된다)

a_4 + a_10을 구해야 하는데

따로따로 못 구하는 경우일 수 있고

대칭성으로 한번에 구해야 한다(feat. 삼각함수)

f(x) - |f(x)| 자체를

0 or 2f(x)로 봐야한다

f(x) 그래프 그리고

|f(x)| 그래프 그려서

상상해서 f(x)-|f(x)| 그래프 즉 3번 그리고 앉아있으면 안된다!!

<상황파악>

1. 특수한 상황을 조사한다(순서대로 적는게 좋다)

2. 순서대로 상상을 하는게 이해가 빠르다

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(x-3)(x^2+ax+6a-18)의 실근의 합이 -1

=>

다른 인수에 있는 3!!

x^2+ax+6a-18에 3이 있는 경우를 고려!!

n^2 <= k < n^3에서 f(k)

1. k = 1, 2, 3, ...

2. n = 1, 2, 3, ... => 나중에 k에 대해 다시 정리

(n : 정수)

b/a < 2^n <= 32b/a

log_2(b/a) < n <= log_2(b/a) + 5

정수 n의 개수와 관련해서

괜히 이러한 형태를 준 것이 아니다!!

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2^f(x) = k; f(x) = log_2(k)

e^(ax) = x

ax = lnx

a = lnx/x

1. h(g(f(x)) =k

2. g(f(x)) = h-1(k)

3. f(x) = g-1(h-1(k))

Or

g(f(x)) 자체를 그릴 수도 있다

(ex. f(sin^2 x) 의 sin^2 x)

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「lim x-> a+ ((f(x)-f(a))/(x-a) = lim x-> a- ((f(x)-f(a))/(x-a)」 (O)

「f'(a) 그 값 하나만 존재」 (O)

「f'(a-) = f'(a+)」 (X)

lim x-> a+ ((f(x)-f(a))/(x-a) ≠ f'(a+) 이기 때문이다

그런데 f(a) = f(a+) 라면 lim x-> a+ ((f(x)-f(a))/(x-a) = f'(a+)

그리고 애초에 불연속이면 미분계수가 떡상/떡락 이어서 미분불가능.

그래서 f'(a+) = f'(a-)로 할 수 있는거다

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f(x)/{(x-1)f'(x)}

{f(x)/(x-1)}을

따로 f'(x)로 떼어낸다

tan(α) tan(β) = 1

동경이 y=x에 대해 대칭

α β 관계 나옴!!

f(a) = a

f'(a) = 1

=>

y=x과 (a,a)에서 접함

1. 좌변 : 적분식

2. 좌변 : 미분가능

3. 즉, 우변도 실수에서 미분가능

4. 미정계수 구하기

y = f(x) + f(1-x)

y= f(x)f(1-x)

=> x= 1/2에 대해 대칭인 함수

선대칭을 적분하면 점대칭이다

∫f(x)+f(1-x)

∫f(x)f(1-x)

∫f(1+x^2)

∫f(1+sinx)

인수 소거할때

i) x(x-2) >0

ii) x(x-2) <0

그냥 케이스 나눌때도

i) g(x) > 0

ii g(x) < 0

이렇게 뭉퉁그려서 케이스를 나눌 수 있다..!

|x-1|(x+2) 자체를 그래프 그리기

역함수가 존재하면

f'(0) 등 편한 한 도함수값만 조사하면

증가인지 감소인지 알 수 있다.

1. (2,t), (t,2) 지남

2. 원점대칭이므로 (-t, -2) 지남

3. (2,t) ~ (-t,-2)는 기울기 1이므로 f'()=1인 곳이 존재하는데

4. f'(x) < 0 이므로 모순

5. 즉, (2,t) = (-t,-2), 즉 t=-2

logx = 10^(-x) : y = logx, y = 10^(-x)

logx = -10^(x) : -logx = 10^(x) {양변 조작하기!} : y = logx, y = 10^(-x)를 y = x에 대해 대칭시키면 y = 10^x, y = -logx 이므로

교점은 y = x에 대해 대칭

f'(x)의 부호만으로 완전한 그래프의 모양을 결정짓지 못하지만

f''(x)의 부호는 그래프의 모양을 결정하는데 도움을 준다

: 만약 그래프의 모양이 애매하면 이계도함수를 조사해야 한다..!

애매하면 -∞ 부터 오는 상황/+∞ 부터 오는 상황을 생각해라

ex) 이 다항함수/초월함수에서 -∞과 +∞의 상황은 매우 기울기가 급격해지므로 무조건 직선과 만날 수 밖에 없으므로... (-1,0)에서 접하는 경우가 답이다

경계점은 좌표 표시해두기

직선과 이게 어떻게 만나는가? 접하는 상황이 있는가? 아님 절묘하게 만날수 있는가?

ex) 기울기가 1인 y=x+t가 있는데, 함수가 하필 (0,0), (1/2, 1/2)를 지난다? => 딱 쓱 만난다

ex) 특정 x좌표에서의 y좌표들을 비교해본다

f(x)가 기울기가 1/2인 직선에 접하면

f(x-n) + 1/2n은

기울기가 1/2인 직선에 한꺼번에 접하게된다

f(x)가 기울기가 1인 직선에 접하면

f(x-n) + 1/2n은

y =(x-n) + k + 1/2n에도 접한다

근의합/수열합은 양끝에서부터 오는 대칭을 써야 편하다

y좌표를 비교한다

그림으로 교점이 있는지 모르겠으면 :

직접 수식으로 방정식을 풀어라

ex) 그냥 f(x)로는 잘 모르겠지만

f(x)=kx^2(x-2)(x-3)이라 작성하면

kx^2(x-2)(x-3) = x(x-2)(x-3); kx=1 => 0~3에서는 교점 안 생김

ex) 지수함수들은 만나는지 잘 모르겠지만

수식으로 작성하면

a^(x+1) = b^x ; (b/a)^x = a에서

b=a : 근 없음/ b≠a : x=log_(b/a)(a) (교점 생김)

연속에 인수가 붙어있으면 그냥 약분이 된다

함수방정식의 해는 취사선택이다

속함수가 연속이라면 반드시 특정점을 찍고 간다

integral |f'(x)| : like 이동거리

(f(x)를 그리고, 거기서 단순히 높이를 바로 구할수 있다)

|f(x)|=g(x) : g(x)≥0 일때 f(x)=g(x) or f(x)=-g(x)

두 점/두 근이 한 직선으로 묶인다

두 점/두 근이 이차방정식 근과계수로 묶인다

삼차함수 특징적인 5개 점의 위치를 확보해야한다

방부등식을 풀때 비교대상이 삼각비라면 함수와 동류로 변환해야한다

삼각함수 안에 일차식이 있으면 계산편하게 바꿔야한다

주기가 있을 것이라 믿어야한다

직접 계산해서 나열하는게 좋을수있다

케이스를 계속 때려야한다

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길이 비율이 주어져있으면 직각삼각형 그려라

기울기가 m

1. tanθ의 θ를 옮기기

2. d = sqrt(1+m^2) * ㅁ

기울기가 m과 -m

1. 같은 각

2. 닮음

3. 이등변삼각형... => tanθ의 θ를 옮기기

4. d = sqrt(1+m^2) * ㅁ

(도형B : 도형A를 y=x 대칭한것)

도형A를 x : +a, y : +b

도형B를 x : +b, y : +a

=> 대칭성 안깨짐(y=x 대칭)

(도형 B : 도형 A를 y=x 대칭한것)

둘다 x : +a 이동하면

당연히 y=x-a에 대해 대칭

(도형 B : 도형 A를 y=x 대칭한것)

도형 B를 x : +a, y : -a

=> 대칭선은 x : +1/2a, y : -1/2a

=> y=(x-1/2a)-1/2a = x-a 대칭

kcosx = sinx : k = tanx : 점(근)들 사이의 주기성

kcosx = (x-π/2)sinx :

1. k/(x-π/2) = tanx : (π/2, 0)에 대칭인 두 함수들 : 근들도 (π/2, 0)에 대해 대칭

2. (x-π/2)tanx = k : x = π/2 대칭인 함수와 직선과의 교점 : 근들도 x = π/2에 대해 대칭

2개의 직각삼각형이 붙어있음 or 두 양쪽 각이 90도인 사각형

1. 원 그리기

2. 수선 연결해서 소공식

3. 다른 각들 합이 180도 이므로 사인법칙 or 코사인법칙...

코사인법칙을 쓰기 위해서 실제적 비율을 더 단순화시킨다

r이고 30도 이므로 2r인데 반지름이 r이므로 r r r 이다

<보조 직각삼각형>

1. 다중 피타고라스

2. 닮음 관련

3. 엇각, 동위각으로 각 옮겨서 : 이등변삼각형

넓이 : 삼각형 높이 보조선(둔각삼각형 일지라도) : 다중 피타고라스/높이비 닮음

원 위에 있는 점은 중심과 이어서 반지름길이!!!

종이를 접었을때 내각/외각 : 코사인법칙!!!

지름 2개가 만나는 점이 바로 중점이다!!!

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3차마냥 대칭인 상태인 함수에서 정적분값 = 0

: 두 경계는 대칭관계

: 하나를 알면 다른걸 알 수 있음

ae^f(-1) = -2 ; ae^(-k+1) = -2

integral 0~1 a(x+1)e^f(x)dx = (e-e^4)/k ; a/2k (e^(3k+1) - e) = (e-e^4)/k

=> 복잡하게 나와도 대입하고 연립