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o1 pro에게 대학생 수학경시대회 풀게 하기
대수경 = 대학생 수학경시대회kmo 등의 수학경시대회는 보통 고등학생 이상까지만 (즉, 대학 수학을 배우지 않은 사람만) 참가가 가능한데 대수경은대학 수학 교육을 받은 사람들을 대상으로 하는 수학 경시대회kmo 등 중등 수학경시대회보다 더 어려울 거라고 생각하기 쉽지만 사실은 중등교육과정이랑 고등교육과정을 둘 다 비슷한 정도로 알고 있다는 가정 하에 더 높은 지적 능력을 요구하지는 않고, 보통 2-3문제 정도만이 발상적으로 어려운 문제가 출제되긴 함그래도 역시 대한수학회에서 수학 교수님들이 출제하는 문제인 만큼 퀄리티는 좋고 수학 능력을 평가하기 좋음2023년도 문제---------------------------------------------------------------------1번은 극좌표에서 적분으로 넓이 구하는 문제고, 미적분학 같은 데에 연습문제 정도로 나올 만한 문제임과학고 학생들은 2-3학년 때 배우고, 이공계 대학교 1학년에서 배울 정도로 쉬운 문제1번 : 정답 (2분 25초)--------------------------------------------------------------------2번은 간단한 개념 문제그냥 고윳값과 고유벡터 정의만 알면 풀 수 있는 문제고, T^2 (A) = A 인 거 이용해서 characteristic polynomial 로 서술해도 됨2번 : 정답 (38초)----------------------------------------------------------------------3번은 계산 문제로, theta'(t) 를 계산해서 부호만 판별하면 됨3번 : 정답 -------------------------------------------------------------------------------4번은 정수를 어떤 정수들의 합으로 표현하는 방법의 수에 관한 조합론 문제언뜻 봐서는 뭔가 점화식 같은 걸 이용할 것 같지만, 사실은 생성함수를 이용해서 구할 수 있다는 방법이 알려진신기한 문제임이 문제처럼 n을 {1, 2, 4, 8, ...}의 원소들의 합으로 나타내는 방법의 수를 구할 때(1 + x + x^2 + x^3)(1 + x^2 + x^4 + x^6)(1 + x^4 + x^8 + x^12)...라는 식을 전개해서 x^n 의 계수를 보면 된다는 뜻생성함수 발상해낸 것까지는 좋았는데, 처음엔 답을 이렇게 적었길래 더 간단한 형태로 표현할 수 있는 방법을 찾아보라고 함이후 생성함수 변형한 식에서의 x^n의 계수는 i + 2j = n 을 만족하는 (i, j) 순서쌍의 개수라는 걸 알아내서 정답이미 좀 알려진 테크닉이긴 하지만, 처음에 답을 저렇게 쓰고 이후에 고친 걸 보면 풀이를 어디서 그대로 베껴온 게 아니라스스로 발상해냈다고 봐야 하지 않을까 싶음4번 : 정답 ---------------------------------------------------------------5번선형대수학 eigenvalue 관련 문제(1)번은 이미 잘 알려진 정리이고, (2)번은 그걸 응용해서 증명하는 문제근데 이새기 왜 갑자기 영어로 대답함?(2)번 증명할 때 처음에 증명에 오류 있길래 다시 하라고 함두 번째 시도에서는 (BA-I)^2 = 2(BA-AB) 로 변형하고, trace=(eigenvalue의 합) 까지 생각한 건 좋았는데,eigenvalue 제곱합을 구할 때 eigenvalue가 복소수일 수도 있는데 이게 항상 0 이상이라고 생각해버림.(켤레복소수끼리 제곱합을 구해도 0보다 작을 수 있음)대충 읽으면 맞다고 생각할 수도 있지만 틀린 내용이고, 실제로 이 논증과정이 올바르지 않다는 반례 행렬을 찾을 수도 있음.아무튼 아직까지는 이 정도 깊이(수학과 학부 과정) 에서 발생하는 환각은 내부 검증 과정에서 놓치는 듯함이후 힌트 주면서 다시 시도해봤는데도 실패5번 : 오답 (증명 과정에서 오류)-------------------------------------------------------------------------------------------------6번은 정수론 문제로, 식이 좀 복잡해 보이지만 사실은(2023과 서로소인 수 x) x (2023과 서로소인 수 y) = (2023과 서로소인 수)가 된다는 것과, x가 고정돼있을 때 y를 변화시켜가면서 더하면 결국 우변은 2023과 서로소인 수가 전부 한번씩 나온다는 걸 이용하면 쉽게 풀 수 있음그리고 그걸 잘 캐치해내고 식까지 완벽하게 쓴 후 합을 잘 구함. (채점자가 누구라도 만점을 줄 수준)그냥 패턴을 파악해서 푼 거 아니냐? 라고 하면 그건 그렇지만,이 정도 응용문제에서 만약 인간이 수식까지 완벽하게 쓰고 계산실수 없이 답을 잘 구해냈다면누구라도 그 인간 보고 "잘 이해했구나."라고 할 거임.이걸 1트만에 잘 풀었다는 건 언어모델임에도 신기하게 이런 수학적 지식들을 잘 "이해하고 있다"는 뜻6번 : 정답 (1분 19초)------------------------------------------------------------------------------7번은 맨 위 사진에 나와있지는 않은데 이 문제양변에 로그를 씌우든 네제곱을 하든 변형해서 테일러전개식을 쓴 후에, 복잡한 계산과정과 수학적 귀납법 등을 동원해서 a_n이 음이 아닌 정수임을 보여야 하는 문제언뜻 보기는 쉬워보이는데 괜히 7번 문제가 아니듯이 계산과정이 꽤 복잡하고 중간에 수학적 귀납법에서 귀납가정도 잘 써야함.처음에는 a_n 을 그냥 막무가내로 계산 노가다로 구하려고 하다가,좀 복잡한 식 나오니까 "음 이건 자명하진 않은데 보통 이런 합 구하다보면 전부 다 날라가서 정수됨ㅇㅇ" 이 ㅈㄹ 하고 앉았음ㅋㅋㅋ좀 더 엄밀히 계산하고 계산과정 보여달라고 말하니까 접근 방향 바꿔서 잘 쓰긴 하더라근데 이후에도 점화식은 잘 썼는데 계산 과정 틀리고 논리 전개도 틀리길래 한 3번 정도 바로 잡아줌4트째에 성공7번 : 정답 (4분 8초, 4트)------------------------------------------------------------------결과 : 7문제 중 5문제 1트만에 정답, 가장 어려운 7번 4트째에 제대로 풀어냄결론 : 아직 계산 말고 증명 같은 부분에서 조금 복잡해지면 논리 전개에서 실수를 보일 때가 있음특히 부호 판별을 좀 헷갈려 하는 것 같고, 내 생각엔 "그럴 듯한" 증명을 써놓으면 검증 모델이 제대로 검증을 못 해서못 걸러내는 게 아닐까 싶음그래도 수능~대수경 수준까지의 문제들은 어느 정도 잘 푸는 것 같고,진짜 창의적인 발상이나 복잡한 사고를 필요로 하는 IMO나 Putnam 급은 아직 무리가 있지 않나 싶음그래도 4o 나온지 반년, o1-preview 나온지 3개월 정도만에 이 정도면 정말 성장속도가 말이 안된다고 생각함갠적으로 AlphaGeometry 가지고도 한번 테스트해보고 싶은데 걔는 자연어가 안 돼서 너무 피곤하더라...
작성자 : AMI고정닉
경상남도 해변 5박 오토캠핑 후기. (사진많음주의)
요번주엔 경상남도 해안가 쪽으로 5박 오토캠 다녀 옴.첫날은 경주의 관성솔밭에서 보냈고, 그 뒤로 평소 가보고 싶었던 울산의 당사현대차, 부산의 영도마리노 캠핑장 다녀왔는데 주말 예약이 빡센데는 이유가 있더라. 모두 좋은 곳이었음. 집에서 새벽 4시쯤 출발해서 9시쯤 경주 도착함.수도권은 지난주 대설로 충주까지 눈 덮힌 풍경이었지만 경상도 진입하자마자 가을이 돌아온 것 처럼 산에는 단풍이 들어있었고 따듯한 바람이 불었음.첫번째 야영지인 관성솔밭 도착.야자수가 있는 이국적인 풍경으로 유명한 캠핑장임. 야영료는 단돈 만원이고 해변가 양 끝에 화장실과 개수대가 있고 중간중간 쓰레기통도 잘돼있음. 매정도 있다. 단점이라면 싸이트 구분이 없어서 주말 사람 많을 때는 개판이라는 점. 샤워실은 해수욕장이 개장할 때만 이용할 수 있다는 점임.워낙 인기가 많은 곳이라 내가 도착했던 토요일 아침에는 야자수 밑 자리는 이미 다 임자가 있었음. 그런데 마침 철수하시는 분이 계셔서 그분 철수하는 거 도와드리고 내가 그 자리를 차지함.그런데... 설치하던 중에 돌풍이 불어서 텐트 폴대 부러짐 ㅋㅋㅋ 하.. 철수하시는 분도 바람 때문에 그냥 집에 간다고 했는데... 그걸 별 대수롭지 않게 여긴 내 잘못임.옆사이트 아재는 루프박스 지붕 깨먹었더라. 그거 날아가는거 내가 잡아줌 ㅋㅋㅋ 그분이랑 나랑 둘 다 어이가 없어서 실실 처웃었다.비상용으로 가져 온 백패킹용 텐트로 캠핑 강행함. 부러진 폴대는 리페어킷으로 보강 수리했지만 바로 텐트를 쓰진 못함. 바람에 쫄아서 그냥 백패킹 텐트를 쓰기로 했음.파도 소리 들으면서 불멍때리는데 옆사이트 아재가 고구마 은박지에 싸서 주심. 내가 은근 캠핑가면 뭘 잘얻어먹는 편.. 불쌍하게 생겨서 그런가봐.캠장의 여명. 이렇게 보니까 ㄹㅇ 동남아 휴양지 느낌이네.그렇게 관성솔밭에서 험난한 1박을 마치고 철수함.다음 야영지로 이동하기 전에 관성솔밭 바로 근처에 있는 지경리 해변에 들러서 컨셉샷도 찍어 봄. ㅋㅋㅋ 여행가면 남는게 사진이라고.. 이렇게 텐트치고 사진 한장 찍으면 거기서 하룻밤 야영한 느낌이 든단 말이지... 지경리 해변은 주변에 화장실이 없는 게 큰 단점이지만 경치가 다 용서해주는 그런 느낌이었음. 두번째 야영지인 울산의 당사현대차 캠핑장 도착.바다 위 수상데크로 지어진 캠핑장이라 풍경이 독특함. 어떻게 이런 생각을 다 했을까. 이름에 현대차가 들어가서 현대차 임직원 전용인 줄 알았지만 그게 아니더라.이 독특한 풍경 덕에 주말 예약하기는 정말 어려운 캠핑장임. 야영료는 평일 1박 35000원. 온수샤워실, 개수대 등등 전부 잘돼있었음.낚시는 금지. 바다에 떠 있어서 물건 떨어트리지 않게 조심해야하는데 마침 근처싸이트에서 뭘 떨어트림. 관리인분이 잠자리채 같은 걸로 건져보려다 실패하고 낚시대 같은 걸로 건지려고 했는데 뜬금 물고기 잡혀서 개웃겼음 ㅋㅋㅋ이 휘황찬란한 조명이 좀 불편했음. 새벽까지 계속 틀더라. 다음날 관리실에 문의하니까 여기가 물위에 떠 있다보니 안전사고예방 혹은 발생시 대처하기 위해서 어쩔 수 없다고 하심. 듣고보니 이해할만 하더라고.밤에 밝은 거 예민한 사람들은 안대 챙겨야겠더라.여기서 2박하는 동안 ㄹㅇ 여유롭게 시간을 보냄. 팬히터 켜고 따듯하게 지내면서 숯불로 고기 해먹고 커피 마시고 책보고.. 오토캠은 이맛이지.. 아 그리고 팬히터 ㅋㅋㅋ 확실히 건조하더라. 입술이 바짝 말라서 간이 가습기 만들어서 잠. 아침되니까 반합에 담아둔 물 전부 말라 없어져 있더라.여튼 2박 잘 보내고 다음 야영지로 이동함.마지막 야영지는 부산 영도 마리노 오토캠핑장. 여기도 당사현대차캠장 처럼 독특한 풍경을 자랑하는 곳임.고소공포증 유발하는 부산항대교의 원형 오르막 도로 아래에 지어진 곳. 도착하자마자 부산항대교부터 한바퀴 돌고 와 봄 ㅋㅋㅋ 톨비 2800원이 아깝지 않더라. 생각만큼 무섭진 않았지만 신기했음. 예전에 부산왔을 때도 일부러 광안리 대교 돈내고 넘어가고 그랬었는데 ㅋㅋㅋ \본격적으로 야영하기 전에 태종대 구경하고 옴. 첫날 부러진 텐트 폴대마디를 캠핑장으로 as신청해뒀는데, 오후 5시쯤 도착한다고 해서 그거 오는 동안 주변 관광이나 하기로 함. 태종대 10년만인거 같은데 별로 달라진 건 없더라. 귀여운 꿀벌열차 타고 잘 구경함.태종대 갔다가 마트 들러서 장보고 캠장 오니까 이미 어둑어둑해져 있었음. 심심해서 설치해뒀던 백패킹텐트는 플라이 벗기고 이너텐트로 쓰기로 하고, 도착한 폴대 수리해서 얼른 텐트 설치함. 이 캠장은 야경이 특히 멋짐. 낮에도 항구뷰가 좋긴한데, 밤에 더 멋지더라. 그리고 내 옆사이트에 있던 발할.. 개멋짐. 여기에 화목난로 쓰던데 부러웠음.하룻밤 보내고 개멋진 일출 구경함.낮에 잠깐 봉래산이라는 곳 다녀옴. 봉래산 입구가 캠장에서 5km거리에 있는데 여기서 부산 전체가 다 보인다고 하더라? 야경이 더 멋질 거 같았는데 허리 발목 다 온전치는 않아서 낮에 다녀오기로 함. 경치는 소문대로 좋았음.그리고 영도 해안도로 괜찮더라 아주 짧은 구간이지만 힐링 제대로 함. 이기대공원처럼 여기도 바다보이는 데크 산책길 있던데 근처에 주차하고 데크길도 잠깐 걸어 봄.마리노 캠장서도 여유롭게 시간 보내고 철수함.이번 캠핑은 평일에 다녀와서 그런지 진상도 별로 없었고 그야말로 조용하게 힐링할 수 있었던 것 같음. 똥바람때문에 고생은 좀 했지만.
작성자 : 댕댕이애호가고정닉
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