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o1 pro에게 대학생 수학경시대회 풀게 하기
대수경 = 대학생 수학경시대회kmo 등의 수학경시대회는 보통 고등학생 이상까지만 (즉, 대학 수학을 배우지 않은 사람만) 참가가 가능한데 대수경은대학 수학 교육을 받은 사람들을 대상으로 하는 수학 경시대회kmo 등 중등 수학경시대회보다 더 어려울 거라고 생각하기 쉽지만 사실은 중등교육과정이랑 고등교육과정을 둘 다 비슷한 정도로 알고 있다는 가정 하에 더 높은 지적 능력을 요구하지는 않고, 보통 2-3문제 정도만이 발상적으로 어려운 문제가 출제되긴 함그래도 역시 대한수학회에서 수학 교수님들이 출제하는 문제인 만큼 퀄리티는 좋고 수학 능력을 평가하기 좋음2023년도 문제---------------------------------------------------------------------1번은 극좌표에서 적분으로 넓이 구하는 문제고, 미적분학 같은 데에 연습문제 정도로 나올 만한 문제임과학고 학생들은 2-3학년 때 배우고, 이공계 대학교 1학년에서 배울 정도로 쉬운 문제1번 : 정답 (2분 25초)--------------------------------------------------------------------2번은 간단한 개념 문제그냥 고윳값과 고유벡터 정의만 알면 풀 수 있는 문제고, T^2 (A) = A 인 거 이용해서 characteristic polynomial 로 서술해도 됨2번 : 정답 (38초)----------------------------------------------------------------------3번은 계산 문제로, theta'(t) 를 계산해서 부호만 판별하면 됨3번 : 정답 -------------------------------------------------------------------------------4번은 정수를 어떤 정수들의 합으로 표현하는 방법의 수에 관한 조합론 문제언뜻 봐서는 뭔가 점화식 같은 걸 이용할 것 같지만, 사실은 생성함수를 이용해서 구할 수 있다는 방법이 알려진신기한 문제임이 문제처럼 n을 {1, 2, 4, 8, ...}의 원소들의 합으로 나타내는 방법의 수를 구할 때(1 + x + x^2 + x^3)(1 + x^2 + x^4 + x^6)(1 + x^4 + x^8 + x^12)...라는 식을 전개해서 x^n 의 계수를 보면 된다는 뜻생성함수 발상해낸 것까지는 좋았는데, 처음엔 답을 이렇게 적었길래 더 간단한 형태로 표현할 수 있는 방법을 찾아보라고 함이후 생성함수 변형한 식에서의 x^n의 계수는 i + 2j = n 을 만족하는 (i, j) 순서쌍의 개수라는 걸 알아내서 정답이미 좀 알려진 테크닉이긴 하지만, 처음에 답을 저렇게 쓰고 이후에 고친 걸 보면 풀이를 어디서 그대로 베껴온 게 아니라스스로 발상해냈다고 봐야 하지 않을까 싶음4번 : 정답 ---------------------------------------------------------------5번선형대수학 eigenvalue 관련 문제(1)번은 이미 잘 알려진 정리이고, (2)번은 그걸 응용해서 증명하는 문제근데 이새기 왜 갑자기 영어로 대답함?(2)번 증명할 때 처음에 증명에 오류 있길래 다시 하라고 함두 번째 시도에서는 (BA-I)^2 = 2(BA-AB) 로 변형하고, trace=(eigenvalue의 합) 까지 생각한 건 좋았는데,eigenvalue 제곱합을 구할 때 eigenvalue가 복소수일 수도 있는데 이게 항상 0 이상이라고 생각해버림.(켤레복소수끼리 제곱합을 구해도 0보다 작을 수 있음)대충 읽으면 맞다고 생각할 수도 있지만 틀린 내용이고, 실제로 이 논증과정이 올바르지 않다는 반례 행렬을 찾을 수도 있음.아무튼 아직까지는 이 정도 깊이(수학과 학부 과정) 에서 발생하는 환각은 내부 검증 과정에서 놓치는 듯함이후 힌트 주면서 다시 시도해봤는데도 실패5번 : 오답 (증명 과정에서 오류)-------------------------------------------------------------------------------------------------6번은 정수론 문제로, 식이 좀 복잡해 보이지만 사실은(2023과 서로소인 수 x) x (2023과 서로소인 수 y) = (2023과 서로소인 수)가 된다는 것과, x가 고정돼있을 때 y를 변화시켜가면서 더하면 결국 우변은 2023과 서로소인 수가 전부 한번씩 나온다는 걸 이용하면 쉽게 풀 수 있음그리고 그걸 잘 캐치해내고 식까지 완벽하게 쓴 후 합을 잘 구함. (채점자가 누구라도 만점을 줄 수준)그냥 패턴을 파악해서 푼 거 아니냐? 라고 하면 그건 그렇지만,이 정도 응용문제에서 만약 인간이 수식까지 완벽하게 쓰고 계산실수 없이 답을 잘 구해냈다면누구라도 그 인간 보고 "잘 이해했구나."라고 할 거임.이걸 1트만에 잘 풀었다는 건 언어모델임에도 신기하게 이런 수학적 지식들을 잘 "이해하고 있다"는 뜻6번 : 정답 (1분 19초)------------------------------------------------------------------------------7번은 맨 위 사진에 나와있지는 않은데 이 문제양변에 로그를 씌우든 네제곱을 하든 변형해서 테일러전개식을 쓴 후에, 복잡한 계산과정과 수학적 귀납법 등을 동원해서 a_n이 음이 아닌 정수임을 보여야 하는 문제언뜻 보기는 쉬워보이는데 괜히 7번 문제가 아니듯이 계산과정이 꽤 복잡하고 중간에 수학적 귀납법에서 귀납가정도 잘 써야함.처음에는 a_n 을 그냥 막무가내로 계산 노가다로 구하려고 하다가,좀 복잡한 식 나오니까 "음 이건 자명하진 않은데 보통 이런 합 구하다보면 전부 다 날라가서 정수됨ㅇㅇ" 이 ㅈㄹ 하고 앉았음ㅋㅋㅋ좀 더 엄밀히 계산하고 계산과정 보여달라고 말하니까 접근 방향 바꿔서 잘 쓰긴 하더라근데 이후에도 점화식은 잘 썼는데 계산 과정 틀리고 논리 전개도 틀리길래 한 3번 정도 바로 잡아줌4트째에 성공7번 : 정답 (4분 8초, 4트)------------------------------------------------------------------결과 : 7문제 중 5문제 1트만에 정답, 가장 어려운 7번 4트째에 제대로 풀어냄결론 : 아직 계산 말고 증명 같은 부분에서 조금 복잡해지면 논리 전개에서 실수를 보일 때가 있음특히 부호 판별을 좀 헷갈려 하는 것 같고, 내 생각엔 "그럴 듯한" 증명을 써놓으면 검증 모델이 제대로 검증을 못 해서못 걸러내는 게 아닐까 싶음그래도 수능~대수경 수준까지의 문제들은 어느 정도 잘 푸는 것 같고,진짜 창의적인 발상이나 복잡한 사고를 필요로 하는 IMO나 Putnam 급은 아직 무리가 있지 않나 싶음그래도 4o 나온지 반년, o1-preview 나온지 3개월 정도만에 이 정도면 정말 성장속도가 말이 안된다고 생각함갠적으로 AlphaGeometry 가지고도 한번 테스트해보고 싶은데 걔는 자연어가 안 돼서 너무 피곤하더라...
작성자 : AMI고정닉
강가 노지 백패킹 feat 열도의 메테오라
갑자기 솔캠각이 잡혀서 급히 갔다옴 저번 공룡유적지 가는 길에 있는 노지로 출발 강가+암벽등반 코스가 유명 鎌倉峡 라고 하는 곳 짱스팩에 바리바리 싸감 나도 부피 작은 장비들 살까.. 후라이팬 갖고가면 패킹이 안이쁜거같음 역 내려서 출발 편도 30-40분정도 걸림 주말에도 돌아가는 공장 우리의 산업역군들 화이팅합시다 강을 따라 쭉 걷는다 내가 사랑하는 시골경치 굳 나도 행군맨처럼 반나절 트레킹같은거 해봐야지 요즘 시대에도 영세농가는 살아남을 수 있는걸까 중국 미국의 대규모 농업이 훨씬 쌀텐데.. 라는 잡생각 하면서 걸어감 좁아진 길을 쭉 걸어가면 목적지 도착 나말고는 다 차로 온듯 노지인데 차로 온다? 이게 복선이었음 오늘의 박지 경치좋다 반년만에 스파이더 피칭 왠지 각이 안사는데 뭐가 문제인지 잘 몰겠으 경사져서 그런가 강가 바로앞 뷰 조아용 복선회수 노지에 차로 온다? 관리인 없는데 지들 맘대로 노는거지 ㅅㅂ 틀딱들 신나서 캠프파이어함 ㅋㅋㅋ 하기전에 나한테 양해 구하던데 별생각 안하고 알았다고 했는데 상상을 초월하네 풀 달린 나뭇가지 태워서 연기가 저리 났는데 멀쩡한 잔가지 꺾어왔을거라는 합리적 의심 50대 이상 추정 미친 틀딱새끼들...10명은 있었던듯 재 날려서 개빡쳤다 아 내 힐링캠 돌려줘.... 캠프파이어 불 안정되니 그나마 잠잠해짐 재는 가끔 바람 운 나쁘면 이쪽으로 조금 날리는데 막 신경쓸 정도는 아님 5시쯤 이른 저녁 ㄱ 집에서 가져온 밥 덥힌다 캠핑오면 고기구워먹어야됨 ㅇㅇ 후식 율무라떼 틀딱들 시끄러워서 일찌감치 문닫고 누워서 게임삼매경 캠프파이어는 밤까지 이어짐 불이 사람 머리 높이까지 옴 이것이 열도의 민도다? 내 뒤쪽도 할재들 신나서 밤늦게까지 떠들고 놀던데 뭐 노지니까 그러려니 함 불도 크게 안피웠고 열한시쯤 잤다 최저온도 2도쯤 됐는데 약간 추웠음 내 장비로는 영하에서 캠핑 힘듬 반고침낭 살까말까 맨날 고민중... 아침은 사천짜파게티 커피한잔 마셔야지 아침에 열도의 메테오라를 올라감 메테오라는 그리스에 유명한 암벽 위 수도원 대충 검색 ㄱ하셈 편도 20분 코스 올만에 이런 코스 올라가네 이쪽은 일반코스고 여기가 암벽등반으로 유명함 상급자 암벽등반코스가 있어서 많이 오는듯 입구에 있던 아재가 살벌한 곡괭이 들고있더만 올만에 이런거 하니깐 힘드네 ㄷㄷ 자태를 드러낸 열도 메테오라 잘 보면 저기 로프 걸려있음 보기만 해도 지릴듯한 암벽등반 코스 ㄷㄷ 날이 흐려서 좀 아쉬웠음 메테오라 도착 이렇게 시야 트인곳이 좋음 막상 정상은 별거없음 이게 끝 하산하는 길은 왔던길 되돌아갈까봐 쫄렸는데 다행히 우회루트가 있었음 돌아오니 뒤쪽 아재들은 이미 철수하고 캠프파이어 빌런들도 안보임 이리 조용하니 좋은걸...하 아쉽네 사람도 없겠다 사진이나 찍음 후딱 정리하고 집에 갈 준비 집에가자 태양과 녹색의 길 이라함 이쪽에 트레킹, 등산코스가 많아서 사람들 꽤 있었음 시골 전철갬성 빌런만 아니었어도 힐링 그자체였을텐데 아쉽네 노지가 다 이런거지 뭐 꼬우면 캠핑장을 갔어야 ㅎㅎ 사이트 자체도 워낙 좋고 메테오라 등산도 좋고 시골길 트레킹도 좋았음 큰애 데리고 오고싶네 나도 시간날때 시골길 행군좀 해야겠음
작성자 : 이베르카나고정닉
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