여러 케이스들을

한 식으로 통합을 할 수가 있다

샌드위치마냥 f(k) <= g(k) <= h(k) 에서 f(k) = h(k) 인 k 구해서 대입

케이스가 하나로 정리가 안될수가 있다...

c ≥ 2k-1 and c ≥ 0

그러나... g(1/4)는 k=1/4

=>

c ≥ -1/2 and c ≥ 0

∴ c ≥ 0

1. g(n) = t

2. 식을 정리해서 t를 구한다

3. 다시 대입해서 a를 구한다

4-1. 실수 그래프 4개를 그려서 자연수점으로 해석한다

4-2. 각각의 식을 -3 ≤ a ≤ 0 과 버무려서 n의 범위를 4개 구한뒤, 나중에 합쳐서 해석한다.

-3 ≤ a ≤ 0 의 조건을 만족하는 자연수n의 범위를 4개 구한다

원래는 접접 설정하고 막 풀어야 되는데...

여기서는

g(2) ≤ -2 로 그냥 풀 수 있다

<유연하게 조건을 푼다>

경계에서 연속인지 check

=>

그래프를 그릴 때 매우 유용함

일단 그래프를 그려봐야 겠다.

그런데 k에 따라서 그래프의 개형이 다 달라지는데?

근데 k를 하나 구해야 하는데...

k를 한번 이리저리 움직여 봐야겠다(극단적인 경우까지)

(혹시나 대칭성때문에 k에 관계없이 어떤 관계가나 있지는 않지는 않을까?......)

어! 이러면 답을 못구해(극값이 무한개 나와서)

아! 이 방정식을 풀어야되겠구나

e일때 되는지 안되는지는 중요하지는 않다.

어차피 a>e인 a가 존재를 안하니까

조사를 할 필요가 없다!!!!!!

f(12) <= g(20) = f(30-m)

(동류로 비교하는것이 매우 편하다!!)

2sin(π/3 (2f(x) -1)) - sin(π/3 f(x) )의 부호 조사 :

1.

y= 2sin(π/3 (2x -1))

y = sin(π/3 x ) 그리기

2. 그다음에 f(x) 생각하기!!! (거의 뭐 방정식처럼)

x를 극단적인 +∞/-∞ 조사

특정 범위 내의 k를 구해야 할 때, 극단적인 값으로 예시들기

초월함수가 삼각함수들로 구성되 있을때

1. 주기성

2. 대칭성(***)

함숫값의 합(시그마)를 구할려면

대칭성을 쓰는 게 좋다

(이 대칭성은, 적분 미분 관계로 생성된 대칭성일수도 있다)

방정식의 그래프적 상황을 그릴 때,

근(점)의 위치를 표시...!!

조건을 (나) -> (가)

x>0에서 x^3 - 3x^2 + 2ax >= 0

sol1) x^3 - 3x^2 >= -2ax 로, 그래프들을 그린다

sol2) x로 나눈다

1. 어떤 꼴인지 극한을 파악해야한다 => 여기서 정보가 나올수 있음

2. 유리화를 하긴 해야하는데... { √(b) - √(a) }^2을 전개해서 유리화하지 말고 그냥 { } 안에서 하자

3. 곱해진 것을 분모로 자유롭게 옮기기

1. a_3 부터(즉, 중간부터) 케이스시작 가능하다!!

2. a_3 = 4k or 4k+1 or 4k+2 or 4k+3 으로 케이스 나눌 수 있다.

3. a_4 = 2k+6에서 2k+6 자체를 케이스로 나눈다.

모든 항이 연쇄적으로 자연수나 정수가 되는지!!!!

그렇게 해서 케이스를 거르는 도구가 된다

1. 무지성단순계산

2. 관찰 + 대칭성+직접 방정식 풀고 관찰

근의합

1. 개수*가운데

2. 일단 직접 계산하고 그다음에 구조를 관찰

ex) t/5 + 3t/5 +t

1. (1+3+5)t/5 = {(m+1)/2}{(m+1)/2}/m

2. 일단 직접 계산을 하면 9t/5인데.. m=5일때 9=3^2, m=7일때 16=4^2이니까... 일단 기울기는 1/2이므로.. {(m+1)/2}^2/m

m=14가 나왔을 때, sigma(1~29)ak < 0 인지 알아보려면

a1, a2, ..., a29를 다 구하지 말고

a1 + a2 + ... + a29 = 29a15로 이용한다!!!

+에서 -로 항의 부호를 변경시킬거면

합에서 2*(변화량)만큼 바뀐다

관찰의 두가지 양상

1. -1<=x<=1 범위에서 x를 천천히 진행시켜 보는것(+값이 떨어지게 나오는 케이스를 최소 2개 확보해 각각 [-2,1] 구간을 표시하면 더 빠르게 정리할 수 있다.)

2. 조건을 만족시키는 해당 케이스를 생각해 보아서 특징을 찾음 + 부등식 푼다

[삼각함수]

{g(x)+g(x+1)}/2 = m(정수) ; (x+1)^2 = m => y=0, y=1, y=2, ... 순차적으로 그려서 근 개수 구하기

g(x+1)-g(x) = 2n(정수); x+1 = n ; x = n-1 => 부등식 풀기

tan(2θ)를 알면

이차방정식을 풀어서

tan(θ)를 구할 수 있다

|g(x) - f(x-k)| [k-1, k+1]

1. g(x) - f(x-k) 그리기

2. 절댓값 씌우기

3. 범위 적당하게 잡아주기

h(x) = |f(x)| + g(x) = 0이 근이 k이고 거기 접선이 y=0

1. 미분계수를 그림으로 살짝 접하게 그려서 그걸 대강으로 빼는 다음에 알맞는 지점을 찾는다

2. h(x) 개형을 아예 그려서 나중에 k가 어딘지 결정할수도 있다......

3. |f(k)|' = -g'(k)라는 것은 y=|f(x)|과 y=-g(x)가 (k,[])에서 접한다는 것을 의미한다.(좌미계 우미계 의미를 살리면, 꺾이는 부분에서는 생각하지 않는다고 생각한다)

h(x) = f(x) - g(x)

1. f'(x) - g'(x) = 0 을 식으로 노가다 풀기

2. y = f(x), y = g(x)를 그리고, 각 점마다 미분계수를 그림으로 살짝 접하게 그려서 그걸 대강으로 뺀다

<1>

직접 해본다(시뮬레이션)

ex) -1<=x<=1 범위에서 "진행"하기..

ex) 그래프 그리고 거기에 정수점들을 그린다

ex) f'(a) = b 가 주어지면 (a,f(a))의 위치를 대략적으로 알려주는 것도 된다

ex) 중간은 잘 모르겠으면 -∞와 +∞에서부터 시뮬레이션

ex) 중간은 잘 모르겠으면 점 바로 근처

보통은 |f(0)| = a로 나오면 f(x)에 대해서 풀겠지만

|f(x)| 자체를 함수로 생각하고 그리면 편할수 있다<그래프적으로 풀기>

ex)

<좌미계 우미계 조사할때 통째로 함수로 생각하고 그리면..?>

|f(x)|-a 의 0에서 좌미계 = -|f(x)|+a 의 0에서 우미계

∴ |f(0-)|' = -|f(0+)|'

미분계수 조사할때 |f(x)| 그래프 그려서 판단할 수 있다!! + 계산적 요소(a 날아감)

그래프를 그리기(g(x)에 대한 통째로의 그래프를 그려서...) (ex) 미분가능 묻는 상황 아니어도, 그래프 파악할때나 등등...)

vs

구간기준으로 미분하기(f(x)에 관한 정보를 도출)

<그래프적으로 풀기>

그래프의 특성을 활용(ex 지수함수 급격증가) 등등 그리고 하면

여러 케이스를 세워야 하는 수고를 줄일수도 있다

바로 보이니까......

교점이 1보다 큰지 아닌지 조사할때

a^(x+1) = b^x는

i) y좌표 비교(일반적)

ii) 그냥 근이 구해져서 그걸 부등식 풀음(여기선 특수)

x|f(x)|를 그리는 방법

1. xf(x)를 그린다

2. f(x)<0인 범위에서 위로 접어 올린다

1. 케이스에 맞는 그림들(점들을 위에 표시)을 그리고

2. g(1)>0, g(2)>=0, g(3) >=0, g'(4) >0 을 푼다. ("함수값, 미분계수 조건 : 점 위치 결정조건")

구간별함수를 빠르게 케이스 나누는법

구간별함수를 모두 그리고

x=a를 이리저리 옯겨보면 된다

A * s = -A*s : s=0(0인자)

A * p = -A * q : p = -q(부호반대)

<절댓값불연속 * 불연속 : 연속 ㄱㄴ!!!>

불연속 * 연속

or

불연속 * 불연속

1. a만큼 움직여야 한다

2. 그리고 나서, f(a)가 얼마만큼인지 알아야한다

3. 그러기 위해서, (a, f(a))의 위치가 필요하다

구하는 값의 변을

원에 내접하는 삼각형이 포함하고 있다면!!

각 theta, alpha, beta의 설정이

모든 시작의 첫걸음

1. k에 일일히 대입을 해본다(답없어짐)

2. 연립부등식을 푼다!!!!!!!

<유연한 부등식 이용>

|f(-2)| <= f(0) and |f(2)| <= f(0)

k, k+ 3/2...

특정 상황( t-> 1/2+)하에서의 식을 구하기!!!!

장황하게 모든 케이스를 구할 필요가 없다.

ex) 적분 구간이면 특정 상황이 정해진다./극한의 숫자에 따라 특정 상황이 정해진다.

연립부등식을 정리할 때나, 대소를 비교할 때는

그냥 그래프를 그려본다!!

x^3 + ax^2 + bx + c

=>

x^3 + ax^2 - (4a+10)x + (4a+14)

=>

판별식/미분

지수함수, 로그함수 나오면...

1. 대칭성?

2. x좌표 비교 vs y좌표비교

3. 항상 지나는점

4. t-log_2(x)=2^(x-t) ; log_2(x)=t-2^(x-t)

"중간에"

SAS, ASA, SSS, AA, ... 등장

이등변삼각형 등장

어디에서 정의되었는지

정의역을 꼭 살펴라!!!

정적분 값 정보 :

g(x)=int(a~x)f(t)dt 의 함수값차이!!!

새로운 수열을 정의하고 n-1대입 후 뺴기

vs

그냥 n-1을 대입하고 빼기

f(k) = k

1. y=x와 만나는 점

2. 자취의 방정식이 y=x

미정계수의 범위에 의존하여

그래프가 변한다!!

(Ex x절편)

개형에 따라 케이스를 나누고

계산을 해서 식을 구하면

케이스 그림에 맞는지 확인!!!

단순 미분 일치 연립문제로 보여도

함수를 미분하여

특징을 분석!!!

( ex. f'(x) >= 0...)

『a_13>0, a_14=0』 or 『a_13>0, a_14<0』 or 『a_13=0, a_14 <0』

vs

『a_13 >=0, a_14 <=0』

그래프상으로 부등식 처리(x좌표 비교 or y좌표 비교)

vs

범위상으로 부등식 처리(굳이 따지자면 x좌표 비교...)

(인수분해를 해서 되는 경우는 이것일 가능성이 높다...)

1. 접함의 애매함

2. 평변 = 순변(그래서 접점 위치인 t를 도입)

3. 접점 위치를 확인

4. 확인

1. x^3 + 2ax^2 + a^2 x - 2a^2 - 8a - 8 = 0

2. x=t 대입

3. t^3 + 2at^2 + a^2 t - 2a^2 - 8a - 8 = 0

4. 인수분해해서 t를 구하기!!!!!!!!!!!

1. f(t) = 0, f'(t) = 0을 직접 이용하기

2. "인수 2개 이상"을 쓸수도 있다..

t = -a/3

or

t = 2

or

t^2 + (2a+2)t + a^2 + 4a + 4 = 0

1. t^2 + (2a+2)t + a^2 + 4a + 4 = 0 이다

2. h'(t) = (3t+a)(t-2)(2t + 2a + 2) "t^2 + (2a+2)t + a^2 + 4a + 4" 항이 0이 되어 다 날아간다!

∫0~2 2xf(x^2+1) dx = ∫1~4 f(x) dx

|sint - sinx}를 품에 있어서...

부호관계가 결정되는 것이

0 ~ x에서 분할될 수 있다!!!

그래서 적분들이 나누어지는 것이다

(x-a)^2(x-b) + m = (x-1)(x-4)^2

그래프적으로 해석

x ≠ a-1, x ≠ a, x ≠ a+1

a^2-1≤ x≤ a^2+1

=>

이미 3개 이기 때문에

이 근들이 모두 보존되어야 한다